Решение задач по физике на вращение колеса

Решение задач по физике на вращение колеса

Условие задачи:

Найти скорость движения автомобиля, если его колесо диаметром 1,1 м делает 309 оборотов в минуту.

Задача №1.8.3 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(D=1,1\) м, \(\nu=309\) об/мин, \(\upsilon-?\)

Решение задачи:

Схема к решению задачи Строго говоря, относительно Земли точки колеса при движении автомобиля совершают сложное движение, при котором они двигаются и поступательно, и вращательно. Но если перейти в систему отсчета (СО), связанную с автомобилем, то колеса будут уже совершать простое вращательное движение. При этом понятно, что линейная скорость крайних точек колеса равна скорости движения автомобиля \(\upsilon\).

Эту линейную скорость можно определить по такой формуле, учитывая, что радиус равен одной второй диаметра:

\[\upsilon  = \omega R = \frac{{\omega D}}{2}\;\;\;\;(1)\]

Угловую скорость \(\omega\) найдем, используя частоту вращения \(\nu\), данную в условии, по такому выражению:

\[\omega  = 2\pi \nu \;\;\;\;(2)\]

Подставим (2) в (1):

\[\upsilon  = \frac{{2\pi \nu D}}{2} = \pi \nu D\]

Перед тем, как подставлять значения и вычислять ответ, переведем частоту вращения в систему СИ.

\[309\; [1/мин] = \frac{{309}}{{60}}\; [1/с] = \frac{{103}}{{20}}\; [1/с]\]

\[\upsilon  = 3,14 \cdot \frac{{103}}{{20}} \cdot 1,1 = 17,79\; м/с\]

Условие задачи:

Определить радиус колеса, если при вращении скорость точек на ободе колеса равна 10 м/с, а скорость точек, лежащих на 42 см ближе к оси, 4 м/с.

Задача №1.8.26 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\upsilon_1=10\) м/с, \(\Delta R=42\) см, \(\upsilon_2=4\) м/с, \(R-?\)

Решение задачи:

Схема к решению задачи Линейная скорость любой точки колеса в общем виде определяется по формуле:

\[\upsilon  = \omega R\]

В этой формуле \(\omega\) – угловая скорость вращения колеса, \(R\) – расстояние от оси вращения до нужной точки. Учитывая все вышесказанное, запишем систему (смотри рисунок):

\[\left\{ \begin{gathered}
{\upsilon _1} = \omega R \;\;\;\;(1)\hfill \\
{\upsilon _2} = \omega \left( {R – \Delta R} \right) \;\;\;\;(2)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Делим выражение (1) на выражение (2).

\[\frac{{{\upsilon _1}}}{{{\upsilon _2}}} = \frac{R}{{R – \Delta R}}\]

Перемножим “крест-накрест”, тогда получим следующее уравнение.

\[{\upsilon _1}R – {\upsilon _1}\Delta R = {\upsilon _2}R\]

В левую сторону переносим все члены с \(R\), в правую – без \(R\), выносим в левой части общий множитель \(R\) и выражаем его.

\[{\upsilon _1}R – {\upsilon _2}R = {\upsilon _1}\Delta R\]

\[R\left( {{\upsilon _1} – {\upsilon _2}} \right) = {\upsilon _1}\Delta R\]

\[R = \frac{{{\upsilon _1}\Delta R}}{{{\upsilon _1} – {\upsilon _2}}}\]

Переведем расстояние \(\Delta R\) из см в м (то есть в систему СИ).

\[42\; см = \frac{{42}}{{100}}\; м = 0,42\; м\]

Подставим исходные данные задачи в полученную формулу, сосчитав, получим ответ.

\[R = \frac{{10 \cdot 0,42}}{{10 – 4}} = 0,7\; м\]

Задача

Маховое колесо вращается равномерно с угловой скоростью 16 с-1. Определить, сколько оборотов сделает колесо за 5 мин вращения.